题目内容
(2013•河南模拟)如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交ED于点P.若AE=AP=1,PB=
.则正方形ABCD的面积为
5 |
4+
6 |
4+
.6 |
分析:求出△AEB≌△APD,推出∠EBA=∠ADP,BE=DP,∠APD=∠AEB=135°,求出EP,过B作BF⊥AE交AE的延长线于F,连接BD,
求出BE=
,由勾股定理求出BF=EF=
,求出S△APB+SAPD=
+
,S△DPB=
×DP×BE=
,即可求出答案.
求出BE=
3 |
6 |
1 |
2 |
1 |
2 |
6 |
1 |
2 |
3 |
2 |
解答:解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵AE⊥AP,AE=AP=1,
∴∠AEP=∠APE=45°,∠EAF=∠BAD=90°,
∵∠BAP=∠BAP,
∴∠EAB=∠PAD,
∵在△EAB和△PAD中
∴△EAB≌△PAD(SAS),
∴∠EBA=∠ADP,BE=DP,∠APD=∠AEB=180°-45°=135°,
∴∠PEB=135°-45°=90°,
即△BEP是直角三角形,
∵AE=AP=1,
∴由勾股定理得:EP=
=
BE=DP=
=
,
过B作BF⊥AE交AE的延长线于F,连接BD,
则∠PEB=180°-135°=45°,
∴∠EBF=45°=∠FEB,
∴EF=BF,
∵BE=
,
∴由勾股定理得:BF=EF=
,
∴S△APB+S△APD=S△APB+S△AEB=S四边形AEBP=S△AEF+S△PEB=
×1×1+
×
×
=
+
,
∵S△DPB=
×DP×BE=
×
×
=
,
∴S正方形ABCD=2S△ABD=2(S△BPD+S△APD+S△APB)=2×(
+
+
)=4+
,
故答案为:4+
.
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∵AE⊥AP,AE=AP=1,
∴∠AEP=∠APE=45°,∠EAF=∠BAD=90°,
∵∠BAP=∠BAP,
∴∠EAB=∠PAD,
∵在△EAB和△PAD中
|
∴△EAB≌△PAD(SAS),
∴∠EBA=∠ADP,BE=DP,∠APD=∠AEB=180°-45°=135°,
∴∠PEB=135°-45°=90°,
即△BEP是直角三角形,
∵AE=AP=1,
∴由勾股定理得:EP=
12+12 |
2 |
BP2-EP2 |
3 |
过B作BF⊥AE交AE的延长线于F,连接BD,
则∠PEB=180°-135°=45°,
∴∠EBF=45°=∠FEB,
∴EF=BF,
∵BE=
3 |
∴由勾股定理得:BF=EF=
6 |
∴S△APB+S△APD=S△APB+S△AEB=S四边形AEBP=S△AEF+S△PEB=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
6 |
∵S△DPB=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
∴S正方形ABCD=2S△ABD=2(S△BPD+S△APD+S△APB)=2×(
1 |
2 |
1 |
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6 |
3 |
2 |
6 |
故答案为:4+
6 |
点评:本题考查了正方形性质,勾股定理,全等三角形的性质和判定,三角形的面积的应用,关键是分别求出△APD、△APB、△BPD的面积.
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