Question

【题目】如图，AN∥CB，B、N在AC同侧，BM、CN交于点D，AC＝BC，且∠A+∠MDN＝180°．

（1）如图1，当∠NAC＝90°，求证：BM＝CN；

（2）如图2，当∠NAC为锐角时，试判断BM与CN关系并证明；

（3）如图3，在（1）的条件下，且∠MBC＝30°，一动点E在线段BM上运动过程中，连CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°至CF，取BE中点P，连AP、FP．设四边形APFC面积为S，若AM＝﹣1，MC＝1，在E点运动过程中，请写出S的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BM＝CN，理由详见解析；（3）1≤S≤3．

【解析】

（1）先证∠N＝∠CMB，再证∠ACB＝∠A，可推出△ACN≌△CBM，即可得出结论；

（2）如图2，延长NA至G，使AG＝CM，证△GAC≌△MCB，得到GC＝MB，再证GC＝CN，即可推出结论；

（3）如图3﹣1，当点E在线段BM上运动至与点M重合时，四边形APFC的面积最小，过点P分别作AC，BC的垂线，垂足分别为H，Q，求出此时四边形APFC的面积；当图3﹣2，当点E在线段BM上运动至与点B重合时，点P也与B，E重合，四边形APFC的面积最大，此时A，C，F在同一条直线上，即△ABF的面积，求出其面积，即可写出S的取值范围．

（1）证明：∵∠NAC＝90°，∠A+∠MDN＝180°，

∴∠NDM＝90°，

∴∠N+∠ACN＝∠ACN+∠CMD＝90°，

∴∠N＝∠CMB，

∵AN∥CB，

∴∠A+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝∠A＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ACN≌△CBM（AAS），

∴BM＝CN；

（2）解：BM＝CN，理由如下，

如图2，延长NA至G，使AG＝CM，

∵AN∥BC，

∴∠GAC＝∠MCB，

又∵AC＝BC，

∴△GAC≌△MCB（SAS），

∴GC＝MB，∠G＝∠BMC，

在四边形AMDN中，∠NAC+∠MDN＝180°，

∴∠N+∠AMD＝180°，

又∵∠AMD+∠BMC＝180°，

∴∠N＝∠BMC，

∴∠N＝∠G，

∴GC＝CN，

∴BM＝CN；

（3）∵AM＝﹣1，MC＝1，

∴AC＝AM+MC＝，

∴BC＝，

由（1）知，∠ACB＝90°，

又∵在Rt△MCB中，∠MBC＝30°，

∴MC＝BC＝1，

如图3﹣1，当点E在线段BM上运动至与点M重合时，四边形APFC的面积最小，

过点P分别作AC，BC的垂线，垂足分别为H，Q，

∵点P是BE的中点，

∴PH＝BC＝，PQ＝MC＝，

∴S四边形APFC＝S△APC+S△PCF

＝ACPH+CFPQ

＝×××1×

＝1；

当图3﹣2，当点E在线段BM上运动至与点B重合时，点P也与B，E重合，四边形APFC的面积最大，

此时A，C，F在同一条直线上，即△ABF的面积，

∵AC＝BC＝CF＝，∠ACB＝∠BCF＝90°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴S四边形APFC＝S△ABF

＝×2×

＝3，

故答案为：1≤S≤3．