Question

【题目】如图，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），把点A绕点B顺时针旋转90°得到的点C恰好在抛物线y=ax2上，点P是抛物线y=ax2上的一个动点（不与点O重合），把点P向下平移2个单位得到动点Q，则：

（1）直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值；

（2）连接OP、AQ，当OP+AQ获得最小值时，求这个最小值及此时点P的坐标；

（3）是否存在这样的点P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）OP+AQ的最小值为2，此时点P的坐标为（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），

【解析】

（1）利用待定系数法求出直线AB解析式，根据旋转性质确定出C的坐标，代入二次函数解析式求出a的值即可；

（2）连接BQ，可得PQ与OB平行，而PQ=OB，得到四边形PQBO为平行四边形，当Q在线段AB上时，求出OP+AQ的最小值，并求出此时P的坐标即可；

（3）存在这样的点P，使得∠QPO=∠OBC，如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P的坐标为（m，m2），根据正切函数定义确定出m的值，即可确定出P的坐标．

（1）设直线AB解析式为y=kx+b，

把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣2，

根据题意得：点C的坐标为（2，2），

把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=；

（2）连接BQ，

则易得PQ∥OB，且PQ=OB，

∴四边形PQBO是平行四边形，

∴OP=BQ，

∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=2，（等号成立的条件是点Q在线段AB上），

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣2，

∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣t﹣2），

于是，此时点P的坐标为（t，﹣t），

∵点P在抛物线y=x2上，

∴﹣t=t2，

解得：t=0或t=﹣1，

∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，

∴OP+AQ的最小值为2，此时点P的坐标为（﹣1，）；

（3）P（﹣4，8）或（4，8），

如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，

设此时点P的坐标为（m，m2），

则tan∠HPO=，

又，易得tan∠OBC=，

当tan∠HPO=tan∠OBC时，可使得∠QPO=∠OBC，

于是，得，

解得：m=±4，

所以P（﹣4，8）或（4，8）．