题目内容

【题目】在△ABC中,∠C90°AC3BC4CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AEx,△AEF的面积为y

1CD= AD=

2)若EFAB,当点E在线段AB上移动时;

①求yx的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)

②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值

3)若F在直角边AC上(点FAC两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

【答案】1;(2)①;②当x5时,最大;(3)存在,

【解析】

1)先根据勾股定理求出AB的长,再根据RtADCRtACB,利用其相似比即可求出AD的长;

2分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得xy的函数关系式;

根据中所求的函数关系式求出其最值即可.

3)先求得△ABC的面积的,进而得到△AEF得到面积的函数关系式,让它等于3,列式即可求解.

解:1)∵△ABC中,∠C90°,AC3BC4

AB5

CDAB

∴∠CDA=∠ACB90°,

又∠CAD=∠CAD

RtADCRtACB

,即

CDAD

2由于E的位置不能确定,故应分两种情况讨论:

如图A:当0xAD,即0x时,

EFAB

RtAEFRtACB,即

AC3BC4AEx

EFx

SAEFy

如图B:当ADxAB,即x5时,

EFAB

RtBEFRtBCA

AEx,△AEF的面积为y

EF

当如图A:当0xAD,即0x时,

xAD,即x时,y最大

如图B:当ADxBD,即x5时,

y最大,此时x2.55,故成立.

y最大

3)存在.

假设存在,当0x5时,

∵△ABC的周长为3+4+512

AE+AF6

AF6x,∴06x3

3x6

3x5

FGAB于点G

由△AFG∽△ACD

FG6x),

SAEF

3

解得:x1x2

3x5

x1(符合题意),x2(不合题意,舍去),

故存在x,直线EF将△ABC的周长和面积同时平分,此时x

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