题目内容
【题目】在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)CD= ,AD= ;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时;
①求y与x的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
【答案】(1),;(2)①;②当x=<5时,最大=;(3)存在,
【解析】
(1)先根据勾股定理求出AB的长,再根据Rt△ADC∽Rt△ACB,利用其相似比即可求出AD的长;
(2)①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式;
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可.
(3)先求得△ABC的面积的,进而得到△AEF得到面积的函数关系式,让它等于3,列式即可求解.
解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB==5,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
又∠CAD=∠CAD,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB,
∴,即,
∴CD=,AD=.
(2)①由于E的位置不能确定,故应分两种情况讨论:
如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时,
∵EF⊥AB,
∴Rt△AEF∽Rt△ACB,即,
∵AC=3,BC=4,AE=x,
∴,EF=x,
S△AEF=y=.
如图B:当AD<x≤AB,即<x≤5时,
∵EF⊥AB,
∴Rt△BEF∽Rt△BCA,
∴,
∵AE=x,△AEF的面积为y,,
∴EF=,
.
②当如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时,
,
当x=AD,即x=时,y最大=.
如图B:当AD<x≤BD,即<x≤5时,
,y最大=,此时x=2.5<5,故成立.
故y最大=.
(3)存在.
假设存在,当0<x≤5时,
∵△ABC的周长为3+4+5=12,
∴AE+AF=6,
∴AF=6﹣x,∴0<6﹣x<3,
∴3<x<6,
∴3<x≤5,
作FG⊥AB于点G,
由△AFG∽△ACD,
∴,
∴,
即FG=(6﹣x),
∴S△AEF=,
∴3=,
解得:x1=,x2=,
∵3<x≤5,
∴x1=(符合题意),x2=(不合题意,舍去),
故存在x,直线EF将△ABC的周长和面积同时平分,此时x=.
【题目】 贫困户老王在精准扶贫工作队的帮扶下,在一片土地上种植了优质水果蓝莓,经核算,种植成本为18元/千克.今年正式上市销售,通过30天的试销发现:第1天卖出20千克;以后每天比前一天多卖4千克,销售价格元/千克)与时间x(天)之间满足如下表:
时间(天) | (1≤x<20) | (20≤x≤30) |
销售价格y(元/千克) | -0.5x+38 | 25 |
(其中,x,y均为整数)
(1)试销中销售量P(千克)与时间(天)之间的函数关系式为 .
(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润w最大?最大利润是多少元?
(3)求试销的30天中,当天利润w不低于870元的天数共有几天.