Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于

两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设AB的函数表达式为

∵∴∴

∴直线AB的函数表达式为．

（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，

因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．

设所求的抛物线为

则

∴所求抛物线为

（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．

又AC=直角三角形的面积

假设抛物线上存在点．

当故满足条件的存在．它们是

．