题目内容

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

(1)如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是________)；

(2)如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________，试证明你的猜想；

(3)当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________．(不要求证明)

答案：
解析：

　　解：(1)根据折叠的性质知：

　　△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP；

　　∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN．

　　∴∠MPN＝∠A＋∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN．

　　故△PMN是等腰直角三角形，AM2＋BN2＝MN2(或AM＝BN＝MN)．

　　(2)AM2＋BN2＝MN2；

　　将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF上的D点，得△DCM，连结DN，则△ACM≌△DCM，

　　∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM．

　　∵∠ACE＋∠FCB＝∠ECF＝∠ECD＋∠DCF，

　　又∵∠ACE＝∠ECD，

　　∴∠FCB＝∠DCF．

　　在△DCN和△BCN中，

　　CN＝CN，∠DCN＝∠BCN，CD＝BC，

　　∴△DCN≌△BCN．

　　∴DN＝BN．

　　而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°，

　　∴∠MDN＝90°，

　　∴DM2＋DN2＝MN2，

　　故AM2＋BN2＝MN2．

　　(3)AM2＋BN2＝MN2；解法同(2)．


练习册系列答案
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A、
168
5
π
B、24π
C、
84
5
π
D、12π
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求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．
25、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-（m+5）x+6m=0的两个实数根．求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）．
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72
°．
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