Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4）

∵a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）

即y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：①证明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ x2+ x+2得

m﹣1=﹣ m2+ m+2，

∴m1=﹣2，m2=3，

∵C在第一象限，

∴ ，∴m＞1，

∴m=﹣2（不符合题意，舍），m=3，

∴C的坐标是（3，2），

∵BC∥DE DF∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∵AB2=25 AC2=20 BC2=5

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴四边形BECF是矩形．

②∵DE∥BC，

∴△AED∽△ACB，

∴ = （1）．

同理，得

= （2），

⑴+（2）得

+ = =1，

∵AC=2 ，BC= ，CF=ED，

∴ + =1，

即2ED+DF=2 ，

∴ED+DF+FC=2 ，

∴DE、DF、CF的长度之和不变化，ED+DF+FC=2

代入整理即可求出b、c．（2）①利用待定系数法思想求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由此即可解决问题；②根据相似三角形的判定与性质，可得 = ， = ，根据等式的性质，可得 + ，再根据等量代换，可得答案．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．