题目内容

【题目】已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.

(1)如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.证明:=

(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:

当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得=成立?并证明你的结论;

(3)如图3,若BA=BC= 3,DA=DC= 4,∠BAD= 90°,DE⊥CF.求的值.

【答案】(1)见解析;(2)当∠B+∠EGC=180°时,=成立.证明见解析;(3)

理由见解析.

【解析】

(1)根据矩形性质得出∠A=FDC=90°,求出∠CFD=AED,证出AED∽△DFC即可;

(2)当∠B+EGC=180°时,DECD=CFAD成立,证DFG∽△DEA,得出,证CGD∽△CDF,得出,即可得出答案;

(3)过CCNADN,CMABAB延长线于M,连接BD,设CN=x,BAD≌△BCD,推出∠BCD=A=90°,证BCM∽△DCN,求出CM=x,在RtCMB中,由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程(x-3)2+(x)2=62,求出CN=,证出AED∽△NFC,即可得出答案.

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=FDC=90°,

CFDE,

∴∠DGF=90°,

∴∠ADE+CFD=90°,ADE+AED=90°,

∴∠CFD=AED,

∵∠A=CDF,

∴△AED∽△DFC,

,即=.

(2)当∠B+EGC=180°时,=成立.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=ADC,ADBC,

∴∠B+A=180°,

∵∠B+EGC=180°,

∴∠A=EGC=FGD,

∵∠FDG=EDA,

∴△DFG∽△DEA,

∵∠B=ADC,B+EGC=180°,EGC+DGC=180°,

∴∠CGD=CDF,

∵∠GCD=DCF,

∴△CGD∽△CDF,

即当∠B+EGC=180°时,成立.

(3)解:

理由是:过CCNADN,CMABAB延长线于M,连接BD,

CN=x,

ABAD,

∴∠A=M=CNA=90°,

∴四边形AMCN是矩形,

AM=CN,AN=CM,

∵在BADBCD

∴△BAD≌△BCD(SSS),

∴∠BCD=A=90°,

∴∠ABC+ADC=180°,

∵∠ABC+CBM=180°,

∴∠CBM=ADC,

∵∠CND=M=90°,

∴△BCM∽△DCN,

RtCMB中,,BM=AM﹣AB=x﹣3,由勾股定理得:

解得x=0(舍去),x=

CN=

∵∠A=FGD=90°,

∴∠AED+AFG=180°,

∵∠AFG+NFC=180°,

∴∠AED=CFN,

∵∠A=CNF=90°,

∴△AED∽△NFC,

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