题目内容

如图，直线l：y=kx+6分别于x轴，y轴交于E、F点，点E的坐标为（-4，0）．若点A的坐标为（-3，0），点P（x，y）是平面内的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若点P在直线l上（与点E不重合），试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（3）是否存在横坐标为-4的点P，使得S_△EFP=10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将点E（-4，0）代入，可得0=-4k+6，
解得：k= $\text{[math]}$ ；

（2）①当点P在x轴上方时，即x＞-4时，点P的纵坐标= $\text{[math]}$ x+6，

S= $\text{[math]}$ OA×P_纵坐标= $\text{[math]}$ ×3×（ $\text{[math]}$ x+6）= $\text{[math]}$ x+9；
②当点P在x轴下方时，即x＜-4时，点P的纵坐标=- $\text{[math]}$ x-6，
S= $\text{[math]}$ OA×P_纵坐标= $\text{[math]}$ ×3×（- $\text{[math]}$ x-6）=- $\text{[math]}$ x-9；

（3）假设存在点P（-4，y），
由题意得：S_△EFP=10，则 $\text{[math]}$ ×4×|y|=10
解得：y=±5，
故存在点P，坐标为（-4，5）或（-4，-5）．
分析：（1）将点E的坐标代入一次函数解析式即可得出k的值．
（2）分段表示，①当点P在x轴上方时，②当点P在x轴下方时，分别表示出点P到x轴的长度，继而可表示出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（3）设点P的坐标为（-4，y），根据△EFP的面积为10，可得出方程，解出即可得出点P的坐标．
点评：本题考查了一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式及三角形的面积，对于存在形问题一定要假设存在，求出结果后再判断，难度较大．