题目内容

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上,点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x2+5x﹣24=0的两个实数根,点D是AB的中点.

(1)求点B坐标;
(2)求直线OD的函数表达式;
(3)点P是直线OD上的一个动点,当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出P点的坐标.
(1)点B坐标为(﹣8,3);(2);(3)P点的坐标为标为.

试题分析:本题考查了一次函数综合题,涉及的知识点有:解方程,中点坐标公式,待定系数法,等腰三角形的判定与性质,分类思想的运用,综合性较强.(1)解方程x2+5x-24=0得到它的两个实数根,根据点B所在象限进一步得到点B坐标(﹣8,3);(2)由点D是AB的中点,结合点B的坐标可得点D坐标(-4,3),再根据待定系数法得到正比例函数直线OD的函数表达式为:;(3)由点P在直线OD上,可设P点的坐标为,当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时,应分三种情况讨论:即①PA=PD;②AP=AD;③DP=DA;分别就三种情况求出P点的坐标.
试题解析:
解:(1)解方程x2+5x﹣24=0,
得x1=﹣8,x2=3,
∴点B坐标为(﹣8,3);
∵点D是AB的中点,
∴D(﹣4,3);
设直线OD的解析式为
∴3=﹣4k,解得
∴直线OD的函数表达式为
(3)由A(0,3),D(﹣4,3)可知:AD=4.
设P点的坐标为,当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时,分三种情况:
①如果PA=PD,那么点P在AD的垂直平分线上,
∴x=﹣2,
∴P点的坐标为.
②如果AP=AD,那么
解得:(与D点重合舍去),
时,
∴P点的坐标为
③如果DP=DA,那么
解得:
时,
时,.
∴P点的坐标为.
综上所述,P点的坐标为标为.
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