题目内容
【题目】如图,∠ABC=∠ACB,BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC.以下结论:①AD∥BC;②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④∠A+2∠BEC=180°;⑤DB平分∠ADC.其中正确的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【解析】
根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定判断即可.
解:①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP,
∴AD平分△ABC的外角∠FAC,
∴∠FAD=∠DAC,
∵∠FAC=∠ACB+∠ABC,且∠ABC=∠ACB,
∴∠FAD=∠ABC,
∴AD∥BC,故①正确.
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC,
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠ABC+
∠MBC=
×180°=90°,
∴EB⊥DB,故②正确,
③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD,2∠DCP=∠BAC+2∠DBC,
∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC,
∴∠BDC=∠BAC,
∵∠BAC+2∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠BDC+∠ACB=90°,故③正确,
④∵∠BEC=180°﹣(∠MBC+∠NCB)=180°﹣
(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°﹣
(180°+∠BAC),
∴∠BEC=90°﹣∠BAC,
∴∠BAC+2∠BEC=180°,故④正确,
⑤不妨设BD平分∠ADC,则易证四边形ABCD是菱形,推出△ABC是等边三角形,这显然不可能,故错误.
故选:C.
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