题目内容
【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点, =,CF=DF,连接AE、AF、EF,并延长FE交AB的延长线于点G.
(1)若正方形的边长为4,则EG等于 ;
(2)求证:△ECF∽△FDA;
(3)比较∠EAB与∠EAF的大小.
【答案】(1)3;(2)证明参见解析;(3)∠EAF<∠EAB.
【解析】
试题分析:(1)先根据正方形边长得CF=2,由平行相似得:△FCE∽△GBE,则,代入求得BG=6,根据勾股定理得:EG=3;(2)根据已知边的长度分别求=, ==,则=,再由正方形性质得:∠C=∠D=90°,则△ECF∽△FDA;(3)先根据(2)中的△ECF∽△FDA,得∠CFE=∠DAF,==,证明∠EFA=90°,分别计算∠EAB与∠EAF的正切值,根据两锐角正切大的角大,得出结论.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD=BC=4,∠ABC=90°,DC∥AB,∵CF=DF,∴CF=CD=2,
∵DC∥AG,∴△FCE∽△GBE,∴,∵=,∴=,BE=BC=×4=3,∴=,∴BG=6,在Rt△BEG中,EG===3;故答案为:3;(2)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=AD=DC=4,∠C=∠D=90°,∵DF=FC=2,CE=1,∴=, ==,∴=,∴△ECF∽△FDA;(3)∵△ECF∽△FDA,∴∠CFE=∠DAF,==,∵∠DFA+∠DAF=90°,∴∠CFE+∠DFA=90°,∴∠EFA=90°,∴tan∠EAF==,∵=,∴tan∠EAB==,∵<,∴∠EAF<∠EAB.
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