Question

如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象 经过点B（0，－1），并且与x轴以及的图象分别交于点C、D．

(1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
(2)在第(1)小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
(3)若一次函数的图象与函数的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是                    ．（请直接写出结果）

Answer 1

（1）；（2）满足条件的点P有4个：、、、；（3）.

解析试题分析：本题考查了一次函数综合知识，难度适中，关键是掌握分类讨论思想的运用．（1）如图，连接OD，先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）求使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．分三种情况讨论：①当DP=DB时；②当BP=DB时；③当PB=PD时。在三种情况下分别求出点P的坐标.
（3）交点D始终在第一象限，即点D的横坐标x＞0.可由交点得到：kx-1=x+1，解得，由此可得；实际上本题可直接根据图象得出答案．

试题解析：
解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y=x+1的图象上，
∴D（1，2），
∴直线BD的解析式为y=3x-1，
∴A（0，1），C（13，0），
∴
应分三种情况讨论：如图，
①当DP=DB时，点D位于BP的垂直平分线上，过点D作DE⊥y轴，则BE=PE
∵B（0，-1），D（1，2），
∴BE=BO+OE=1+2=3
∴PE=3
∴PO=5
∴点P的坐标为：
②当BP=DB时，
∴，
③当PB=PD时，点P位于BD的垂直平分线与y轴的交点上，设P（0，a），
则（a+1）²=1+（2-a）²，
解得：
∴
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是：k＞1．
考点：1、一次函数的图象与性质；2、动点问题--构造等腰三角形.