Question

如图（1）已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，如图（2）已知△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线相交于点P．
选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想

解：
我选择的是

 

，猜想结论：

 

证明：

Answer 1

分析：图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得∠BPC=90°-

1

2

∠A；
图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到∠BPC=

1

2

∠A．

解答：解：图（1）
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A，
∵BP，CP分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（180+∠A）°，
即：∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=（90-

1

2

∠A）°；


图（2），结论：∠BPC=

1

2

∠A．
证明如下：
∵∠1是△PBC的外角，
∴∠P=∠1-∠2=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A．

点评：此题要能够利用三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义推导角之间的关系．