题目内容
如图,在直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD.(1)求C、D两点的坐标;
(2)求经过C、D、B三点的抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线的顶点为P,AB的中点为M,试判断△PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形,并说明理由.
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【答案】分析:(1)根据旋转的性质可知OB=OD、OA=OC;因此D点的纵坐标就是B点的横坐标.C点的横坐标就是A点纵坐标的绝对值.由此可得出C、D两点的坐标.
(2)可根据C、D、B三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)本题的关键是要看M点在抛物线对称轴的左侧还是右侧.根据抛物线的解析式可得出抛物线的顶点为(1,
),根据A,B两点的坐标以及M是AB中点不难求出M的坐标是(2,1).由此可得出M在P点的右侧,过P作出抛物线的对称轴,很明显对称轴与AB相交得出的钝角要小于∠PMB,因此△PMB是钝角三角形.
解答:解:(1)由旋转的性质可知:OC=OA=2,OD=OB=4
∴C、D两点的坐标分别为C(-2,0)、D(0,4)
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得
解得
∴所求抛物线的解析式为y=-
x2+x+4.
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(3)答:△PMB是钝角三角形.
如图,PH是抛物线y=-
x2+x+4的对称轴,
求得M、P两点的坐标分别为M(2,1),P(1,
).
∴点M在PH右侧,
又∵∠PHB=90°
∴∠PMB>90°
∴△PMB是钝角三角形.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形的外角的特征等知识点.
(2)可根据C、D、B三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)本题的关键是要看M点在抛物线对称轴的左侧还是右侧.根据抛物线的解析式可得出抛物线的顶点为(1,
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解答:解:(1)由旋转的性质可知:OC=OA=2,OD=OB=4
∴C、D两点的坐标分别为C(-2,0)、D(0,4)
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得
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解得
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∴所求抛物线的解析式为y=-
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(3)答:△PMB是钝角三角形.
如图,PH是抛物线y=-
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求得M、P两点的坐标分别为M(2,1),P(1,
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∴点M在PH右侧,
又∵∠PHB=90°
∴∠PMB>90°
∴△PMB是钝角三角形.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形的外角的特征等知识点.
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