Question

【题目】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一动点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：△APD≌△CPD．
（2）当菱形ABCD变为正方形，且PC=2，tan∠PFA= 时，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】
（1）解 ：∵四边形ABCD是菱形 ，
∴DC=DA ,∠CDB=∠ADB
,又DP=DP ,
∴△APD≌△CPD．

（2）解 ：∵△APD≌△CPD．
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴AP∶FP=PE∶PA，
∴PA2=PEPF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC2=PEPF；
∵tan∠PFA= ，∠DCP=∠F，
∴tan∠DCP== ,
∴DC=2DE ,
∵四边形ABCD是正方形 ，
∴DC=DA ，
∴DA=2DE ,
即点E是DA的中点 ，
∴DE=EA
在DCE与AFE中，
∵∠DCP=∠F
∠DEC=∠AEF
DE=AE
∴DCE≌AFE
∴EC=EF ，设PE=x ，则EC=EF=x+2 ,PF=2X+2
22=X·（2x+2）
解得 x1=-2 (舍去） ，x2=1 ，
∴CE=3 ,
再RtDEC中，设DE=y ,则DC=2y ,根据勾股定理得y2+(2y)2=32
解得 y±= ,∴DE=
∴DC= ,
即正方形的边长为

【解析】（1）根据菱形的性质得出DC=DA ,∠CDB=∠ADB，又DP=DP ,从而利用AAS判断出△APD≌△CPD；
（2）首先由全等三角形的性质得出∠DAP=∠DCP，根据平行线的性质得出∠DCP=∠F，，从而得出∠DAP=∠F，又∠APE=∠FPA，故△APE∽△FPA ，根据相似三角行的性质得出AP∶FP=PE∶PA，即PA2=PEPF，又由全等三角形的性质得出PA=PC，从而得出PC2=PEPF；根据锐角三角函数的定义及等角的同名三角函数值相等得出DC=2DE ,根据正方形的性质得出DE=EA ，然后利用AAS判断出DCE≌AFE ,得出EC=EF ，设PE=x ，则EC=EF=x+2 ,PF=2X+2 ，从而得出关于x的方程求解得出x的值，从而得出CE的长，再RtDEC中，设DE=y ,则DC=2y ,根据勾股定理得出关于y的方程，求解得出y的值，进而得出正方形的边长。
【考点精析】掌握菱形的性质和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．