Question

已知关于x的方程x²－(m+2)x+(2m－1)=0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出m的值及方程的另一个根，并求以此两根作为两边的等腰三角形(不是等边三角形)的周长.

Answer 1

(1)详见解析;(2)m=2,x₂="3,C=7" .

试题分析：（1）用一元二次方程的判别式来判断方程的解的情况，如果判别式大于0，说明一元二次方程有两个不相等的实数根，如果判别式等于0，说明一元二次方程有两个相等的实数根，如果判别式小于0，说明一元二次方程没有实数根.(2)将x=1代入原方程，求出m的值，用根与系数的关系定理求出另一根.
试题解析：（1）△=(m+2)²-4(2m-1)=m²+4m+4-8m+4=m²-4m+8=(m-2)²+4＞0,所以原方程无论m取何值，总有两个不相等的实数根.
(2)将x=1代入原方程得：1-(m+2)+(2m-1)=0,m=2,所以原方程化为：x²-4x+3=0,由根与系数的关系知：1+x₁=4,所以x₁=3,以1，3为边的等腰三角形只能是1，3，3.所以三角形的周长是7.