Question

已知关于x的一元二次方程x²＋2（m－2）x＋m²＋4＝0的两实数根是和.
（1）求m的取值范围；
（2）如果²＋²－＝21 ，求m的值.

Answer 1

详见解析

试题分析：（1)m的取值范围，可由一元二次方程的根的判别式构建不等式求解。因为原方程有两实数根，所以△=b²-4ac≥0，将a、b、c代入解不等式即可求解。
利用一元二次方程的根与系数的关系，是解题的关键.由根与系数的关系可知：x₁＋x₂=-2(m-2)=4-2m,
x₁·x₂＝m²＋4，利用配方法把原方程化为一元二次方程的一般形式，即（x₁＋x₂）²-3x₁·x₂-21=0.所以（4-2m）²-3（m²+4）-21=0，解方程求解，再利用m的取值范围确定m的取值.
试题解析：
解：(1）∵方程由两个实数根
∴△=b²－4ac＝4﹙m－2﹚²－4﹙m²＋4﹚≥0
∴m≤0
（2）由根与系数的关系知：x₁＋x₂＝﹣2（m－2）=4-2m，x₁·x₂＝m²＋4
∵ x₁²＋x₂²－x₁·x₂＝21
∴﹙x₁＋x₂﹚²－3x₁·x₂＝21
∴4﹙m－2﹚²－3﹙m²＋4﹚＝21
m²－16m－17＝0
﹙m－17﹚﹙m＋1﹚＝0
m₁＝17，m₂＝﹣1
∵m≤0
∴m＝﹣1