Question

（2012•郑州模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接BE，DE，AC．
（1）求证：△EAB≌△EFD；
（2）求

AC

DE

的值．

Answer 1

分析：（1）有等腰直角三角形的性质可得：EA=FE，∠EAF=∠EFA=45，再由已知条件证明△EAB≌△EFD即可；
（2）连接BD，有旋转的性质可得EB=ED，且∠BED=90°，再有矩形的性质即可求出

AC

DE

的比值．

解答：（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，EA=EF，
又∵∠BAD=90°，∠EFD+∠EFA=180°，
∴∠EAB=∠EFD=135°，
又∵AD=2AB，FD=

1

2

AD，
∴AB=FD，
∴△EAB≌△EFD；

（2）解：如图，连接BD．
∵∠AEF=90°，
∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到，
∴EB=ED，且∠BED=90°．
∴△BED也是等腰直角三角形．
∴BD=

2

DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
∴

AC

DE

=

2

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定以及旋转的性质和矩形的性质：对角线相等，题目的综合性不小．