Question

【题目】如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．

（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x轴的交点C的坐标；

（2）设点P为直线y=﹣x+b在第一象限内的图象上的一动点，求△OBP的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的范围；

（3）设点M为坐标轴上一点，且S△MAC=24，直接写出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣．点C的坐标为（8，0）．

（2）S=﹣（0＜x＜8）．

（3）点M的坐标为M（﹣8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）将点A的坐标代入一次函数的解析式得：﹣×2+b=3，解得b=4，求得一次函数的解析式为y=﹣+4，将y=0代入解得x=8，点C的坐标为（8，0）；

（2）过点P作PD⊥OC，垂足为D．设点P的坐标为（x，﹣），则DP=，由点A的坐标为（2，3）可知点B的坐标为（2，0），故此OB=2，由三角形的面积公式可知S=；

（3）分为点M在x轴上和y轴上两种情况画出图形，然后再根据三角形的面积公式列出关于点M坐标的方程求解即可．

解：（1）∵将x=2，y=3代入得：﹣×2+b=3，解得：b=4，

∴一次函数的解析式为y=﹣．

∵将y=0代入得：=0，解得x=8．

∴点C的坐标为（8，0）．

（2）如图1所示：过点P作PD⊥OC，垂足为D．

设点P的坐标为（x，﹣），则DP=．

∵AB⊥OC，A（2，3），

∴点B（2，0）．

∴OB=2．

∴==﹣．

∴S=﹣（0＜x＜8）．

（3）如图2所示：

①当点M在x轴上且位于点C左侧时，设点M的坐标为（a，0），则MC=8﹣a．

∵S△MAC=24，

∴，即．

解得：a=﹣8．

∴点M的坐标为（﹣8，0）．

②当点M位于点M′处时，设点M′的坐标为（a，0），则M′C=a﹣8．

∵S△MAC=24，

∴，即．

解得：a=24．

∴点M的坐标为（24，0）．

如图3所示：

∵将x=0代入y=﹣得：y=4．

∴点D的坐标为（0，4）．

③当点M位于点D的下方时，设点M的坐标为（0，a），则DM=4﹣a．

∵S△ACM=SMCD﹣S△MDA=24，

∴﹣=24．

解得：a=﹣4．

∴点M的坐标为（0，﹣4）．

④当点M位于点M′处时，设点M的坐标为（0，a），则DM=a﹣4．

∵S△ACM=SMCD﹣S△MDA=24，

∴=24．

解得：a=12．

∴点M的坐标为（0，12）．

综上所述，点M的坐标为M（﹣8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，﹣4）．