Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求CD的长；
（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2 cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：过D点作DH⊥BC，垂足为点H，

则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．

∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．

在Rt△DCH中，∠DHC=90°，

∴CD= =8 cm．

（2）解：当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．

① 当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2 t．

又∵DH=HC，DH⊥BC，

∴∠C=45°．

∴在Rt△QCG中，QG=QCsin∠C=2 t×sin45°=2t．

又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×2t=14t﹣t2．

当Q运动到D点时所需要的时间t= = =4．

∴S=14t﹣t2（0＜t≤4）．

②当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，

则：QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，

∴S△BPQ= BP×QG= （14﹣t）×8=56﹣4t．

当Q运动到A点时所需要的时间t= = =4+ ．

∴S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）．

综合上述：所求的函数关系式是：

S=14t﹣t2（0＜t≤4），

S=56﹣4t（4＜t≤4+ ）；

（3）解：要使运动过程中出现PQ∥DC，

∵AD∥BC，∴CPQD是平行四边形，

∴CP=DQ，

1t=at﹣8 ，

∴t= ①，

又∵Q点在AD边上，

∴ ＜t≤ ②，

把①代入②，解得a≥1+ ．

故a的取值范围是a≥1+ ．

【解析】（1）过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则在Rt△DCH中，由DH、CH的长度，运用勾股定理即可求出CD的长；（2）由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）令DQ=CP，Q点在AD边上，求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和直角梯形的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能正确解答此题．