Question

点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为________．

Answer 1

（，±）
分析：设点P的坐标为（x₀，y₀），则根据函数图象上点的坐标特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根据点A的坐标求得点B的坐标为（1，-1）；然后，利用三角形的面积公式S=absinC列出等式|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．即=；再根据两点间的距离公式求得=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．易求y₀的值．
解答：解：∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，-1）．
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴=，
∴=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．
∵点P在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±，
∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（，±）．
故答案是：（，±）．
点评：本题考查了一次函数综合题．此题涉及到的知识点有关于x、y轴对称的点的坐标特征，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式等．解题时，注意利用“数形结合”的性质，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．