Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3

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，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据路程公式直接写出PQ的长度y；
（2）当BP=1时，有两种情况：①点P从点M向点B运动，通过计算可知，MP=MQ=3，即PQ=6，连接EM，根据等边三角形的性质可求EM=3

3

，此时EM=AB，重叠部分为△PEQ的面积；②点P从点B向点M运动，此时t=5，MP=3，MQ=5，△PEQ的边长为8，过点P作PH⊥AD于点H，在Rt△PHF中，已知PH，∠HPF=30°，可求FH、PF、FE，证明等边△EFG中，点G与点D重合，此时重叠部分面积为梯形FPCG的面积；根据梯形面积公式求解；
（3）由图可知，当t=4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，由（2）可知，当t=5时，线段EQ经过D点，长度也是最大值，故t的范围在4与5之间．

解答：解：（1）y=MP+MQ=2t；

（2）当BP=1时，有两种情形：
①如图1，若点P从点M向点B运动，有MB=

1

2

BC=4，MP=MQ=3，
∴PQ=6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴EM=3

3

．
∵AB=3

3

，∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9

3

．
②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．
PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，
过点P作PH⊥AD于点H，
则HP=3

3

，AH=1．
在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，
∴点G与点D重合，如图2．
此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为

27

2

3

．

（3）能，
此时，4≤t≤5．
过程如下：
如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，
此时被覆盖线段的长度达到最大值，
∵△PEQ为等边三角形，
∴∠EPC=60°，
∴∠APE=30°，
∵AB=3

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，
∴AF=3，BF=6，
∴EF=FG=2，
∴GD=6-2-3=1，
所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，
∴4≤t≤5．

点评：本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论，利用特殊三角形，梯形的面积公式进行计算．