题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(﹣3，0)，B(0，3)．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y=3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2
为半径画圆．
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3
；（2）①见解析，②存在，Q1（3–，6–3）和Q2（3+，6+3）
【解析】
（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，证明CE=ACsin45°=4×
=2
=圆的半径，即可求解；
（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
证明：（1）如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3；
（2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图2.
将y=0代入y=3x–3，得x=1，
∴点C的坐标为（1，0）.∴AC=4，
∵∠CAE=45°，∴CE=
AC=2，
∵点Q与点C重合，又⊙Q的半径为2，
直线l1与⊙Q相切.
②假设存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，
∵直线l1经过点A（–3，0），B（0，3），
∴l1的函数解析式为y=x+3．
记直线l2与l1的交点为F，
情况一：
当点Q在线段CF上时，由题意，得∠MNQ=45°，
延长NQ交x轴于点G，如图3，
∵∠BAO=45°，
∴∠NGA=180°–45°–45°=90°，
即NG⊥x轴，∴点Q与N有相同的横坐标，
设Q（m，3m–3），则N（m，m+3），
∴QN=m+3–（3m–3），
∵⊙Q的半径为2，
∴m+3–（3m–3）=2，解得m=3–，
3m–3=6–3，
∴Q的坐标为（3–，6–3）.
情况二：
当点Q在线段CF的延长线上时，如图4，
同理可得m=3+，
Q的坐标为（3+，6+3）.
∴存在这样的点Q1(3–，6–3)和Q2(3+，6+3)，使得△QMN是等腰直角三角形．
