题目内容
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分
别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，-| 2 |
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（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取
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（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；
（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
（2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标．
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
解答：解：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，-2）A点的坐标是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-
）代入得：
，
解得a=
，b=-
，c=-2，
∴抛物线的解析式为：y=
x2-
x-2，
答：抛物线的解析式为：y=
x2-
x-2．
（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=
时，5t2-8t+4=
，得20t2-32t+11=0，
解得t=
，t=
（不合题意，舍去），
此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-
），
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图（1）所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为-
，
即R（3，-
），
代入y=
x2-
x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（3，-
）满足题意；
（ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，-
）代入，y=
x2-
x-2，
左右不相等，∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，-
）满足题意．
则存在，R点的坐标是（3，-
）；
（3）如图（2），M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
∴|MD|-|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距离之差为|DB|时，差值最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：
，
解得：k=
，b=-
，
∴y=
x-
，
抛物线y=
x2-
x-2的对称轴是x=1，
把x=1代入得：y=-
∴M的坐标为（1，-
）；
答：M的坐标为（1，-
）．
∵正方形的边长2，
∴B的坐标（2，-2）A点的坐标是（0，-2），
把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-
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解得a=
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∴抛物线的解析式为：y=
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答：抛物线的解析式为：y=
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（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
=（2-2t）2+t2，
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1．
②解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴当S=
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解得t=
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此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-
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若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图（1）所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为-
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即R（3，-
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代入y=
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∴这时存在R（3，-
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（ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，-
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左右不相等，∴R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（3，-
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则存在，R点的坐标是（3，-
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（3）如图（2），M′B=M′A，
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，
理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形，
∴|MD|-|MB|＜|DB|，
即M到D、A的距离之差为|DB|时，差值最大，
设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：
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解得：k=
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∴y=
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抛物线y=
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把x=1代入得：y=-
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∴M的坐标为（1，-
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答：M的坐标为（1，-
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点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算．此题综合性强，是一道难度较大的题目．
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BE．