题目内容
【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．
（1）求证△BCD是直角三角形；
（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO+∠CDB=180°，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】
（1）
解：把A（﹣1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x2+bx+c中得：
，
解得： 
，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），
由勾股定理得：BC2=32+32=18，
CD2=12+（4﹣3）2=2，
BD2=（3﹣1）2+42=20，
∴CD2+BC2=BD2，
即∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形
（2）
解：作PQ⊥OC于点Q，
∴∠PQC=90°，
∵∠PCO+∠CDB=180°，
∠PCO+∠PCQ=180°，
∴∠CDB=∠PCQ，
∵∠PQC=∠BCD=90°，
∴△PCQ∽△BDC，
∴ 
=3，
∴PQ=3CQ，
设CQ=m，则PQ=3m，
设P（3m，﹣3﹣m），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： 
，
解得： 
，
∴直线BD的解析式为：y=2x﹣6，
将点P的坐标代入直线BD：y=2x﹣6得：
﹣3﹣m=2×3m﹣6，
m= 
，
∴3m= 
，﹣3﹣m=﹣3﹣ =﹣ 
，
∴P（ ，﹣ ）；
（3）
解：∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠CMN= 
= 
，
∴ 
，
同理可求得：CD的解析式为：y=﹣x﹣3，
设N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），
①如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，
则△MGN∽△NFC，
∴ 
= 
，
∴ 
=2，
则 
，
∴x1=0（舍），x2=5，
当x=5时，x2﹣2x﹣3=12，
∴M（5，12），
②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，
∴△CFN∽△NGM，
∴ 
= ，
∴ 
= 
= ，
则 
，
∴x1=0（舍），x2= 
，
当x= 时，y=x2﹣2x﹣3=﹣ 
，
∴M（ ，﹣ ），
综上所述，点M的坐标（5，12）或（ ，﹣ ）．
【解析】（1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式求顶点D的坐标，和与y轴的交点C的坐标，由勾股定理计算△BDC三边的平方，利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形；（2）作辅助线，构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似，根据比例式表示出点P的坐标，利用待定系数法求直线BD的解析式，因为点P为线段BD上一点，代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标；（3）同理求直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，由此表示点N的坐标为（a，﹣a﹣3），因为M在抛物线上，所以设M（x，x2﹣2x﹣3），根据同角的三角函数得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，则 ，
如图2，证明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程组解出即可；
如图3，证明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程组解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．
