题目内容
已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
【答案】分析：（1）利用交点式可以求出二次函数解析式，再利用公式法求出顶点坐标，
（2）运用两点求出直线BM解析式，再表示出四边形面积，
（3）根据使△PAC为直角三角形，三个角依次分析当等于直角时，得出不同结论．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x2-x-2，其顶点坐标是（
，-
）；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，-t），
则
，
解它们组成的方程组得：
，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=
x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=
h-3，
∴h=2-
t，
其中
＜h＜2，
∴s=
（2+t）（2-
t）=-
t2+
t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-
t2+
t+3，
∵M点坐标是（
，-
）；
∴QN最大值为：
，
∴自变量的取值围是：
；
（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（
，
），P2（
）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2-m-2，PA2=（m+1）2+n2
PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠APC=90°则AC2=PC2+AP2．
可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，
解得：
，m2=-1（舍去）．
所以点P（
，
）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5
解得：
，m4=0（舍去）．所以点P（
，-
）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P1（-1，-2），P2（-
）或
（
，-
）．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及顶点坐标计算，四边形面积计算，矩形的性质等，综合性比较强．
（2）运用两点求出直线BM解析式，再表示出四边形面积，
（3）根据使△PAC为直角三角形，三个角依次分析当等于直角时，得出不同结论．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x2-x-2，其顶点坐标是（
，-）；（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，-t），
则
，解它们组成的方程组得：
，所以线段BM所在的直线的解析式为：y=
x-3，N点纵坐标为：-t，
∴-t=
h-3，∴h=2-
t，其中
＜h＜2，∴s=
（2+t）（2-t）=-t2+t+3，∴s与t间的函数解析式为，
s=-
t2+t+3，∵M点坐标是（
，-）；∴QN最大值为：
，∴自变量的取值围是：
；（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（
，），P2（）．设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2-m-2，PA2=（m+1）2+n2
PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠APC=90°则AC2=PC2+AP2．
可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，
解得：
，m2=-1（舍去）．所以点P（
，）（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5
解得：
，m4=0（舍去）．所以点P（，-）．（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，
第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，
如图，此时未知顶点坐标是P1（-1，-2），P2（-
）或（
，-）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及顶点坐标计算，四边形面积计算，矩形的性质等，综合性比较强．
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