题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB、AC引垂线,垂足分别为E、F点.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.
(2)在满足第一问的条件下,连接AD,此时图中共有几对全等三角形?并请给予写出(不 必证明).
(3)过C点作AB边上的高CG,请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系?并加以证明.
【答案】(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,证明见解析;(2)有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD;(3)CG=DE+DF,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)因为当△BED和△CFD时,DE=DF,所以当点D在BC中点时,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性质可得DE=DF,
(2)在(1)的结论下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,
利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3对全等三角形.
(3)连接AD,根据三角形的面积公式即可求证.
(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,
证明:∵D为BC中点,
∴BD=CD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∵在△BED和CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)
有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,
(3)CG=DE+DF,
证明:连接AD,
因为,
所以,
因为AB=AC,
所以.
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