题目内容
【题目】如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积;
(3)若点P在x轴上方的抛物线上,满足S△PCD=S△BCD,求点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣(x﹣1)2+4;(2)C(﹣1,0),D(3,0);6;(3)P(1+,),或P(1﹣,)
【解析】
试题分析:(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x﹣1)2+4,然后把点B的坐标代入求出a的值,即可得解
(2)令y=0,解方程得出点C,D坐标,再用三角形面积公式即可得出结论;(3)、先根据面积关系求出点P的坐标,求出点P的纵坐标,代入抛物线解析式即可求出点P的坐标.
试题解析:(1)、∵抛物线的顶点为A(1,4), ∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2+4,
把点B(0,3)代入得,a+4=3, 解得a=﹣1, ∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; 令y=0,则0=﹣(x﹣1)2+4,
∴x=﹣1或x=3, ∴C(﹣1,0),D(3,0); ∴CD=4,∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6;
(3)由(2)知,S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6;CD=4, ∵S△PCD=S△BCD,
∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3, ∴|yP|=, ∵点P在x轴上方的抛物线上,
∴yP>0, ∴yP=, ∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; ∴=﹣(x﹣1)2+4,
∴x=1±, ∴P(1+,),或P(1﹣,).
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