题目内容
【题目】在
中，
，
．点
是平面内不与点
，
重合的任意一点．连接
，将线段绕点逆时针旋转
得到线段
，连接
，
，
．
（1）观察猜想
如图1，当
时，
的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是____________．（提示：求角度时可考虑延长交的延长线于
）
（2）类比探究
如图2，当
时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点，
分别是
，
的中点，点在直线
上，请直接写出点，，
在同一直线上时
的值_______________．
【答案】（1）
，
；（2）
，理由见解析；（3）
，
【解析】
（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．利用直角三角形斜边上的中线的性质及等边对等角证得BH=BA，∠H=∠BAH，再根据四点共圆的知识求得∠DAC=∠DCA=22.5
，证明AD＝DC即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，根据三角形中位线的性质结合三线合一的性质证明DA＝DC即可解决问题．
解：（1）如图1中，延长
交
的延长线于
，设
交
于点
．
∵
,
∴
都是等边三角形，
∴
,
∵
,，
∴
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，线与直线相交所成的较小角的度数是，
故答案为，.
图1
（2）如图2中，设交
于点，交
于点．
，
∵
，
∵
，
，
，
,
∴
.
，
，
直线与直线相交所成的小角的度数为．
图2
（3），
如图3﹣1中，当点
在线段上时，延长
交
的延长线于
．
图3-1
∵点，
分别是
，
的中点，点
在直线
上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四点共圆，
，
，
，
，设
，则
，
，
．
如图3﹣2中，当点在线段
上时，设AB交CD于G，
∵点，分别是，的中点，点在直线上，
∴点为CG中点，
∵AP⊥CG，
∴AC=AG, ∠ACD=∠AGC，
∵
，
∴
，设，则
，
，
，
．
的值是，.
图3-2
