Question

如图，在平面直角坐标系中，x 轴上有两点A（-2，0），B（2，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E 是AD边的中点，F 是x轴上一动点，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC所在的直线与点G，连接FG．
（1）当点F与点A重合时，易得

EF

EG

=

1

2

；若点F与点A不重合时，试问

EF

EG

的值是否改变？直接写出正确判断；
（2）设点F的横坐标为x（-2＜x＜2），△FBG的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当点F在 x轴上运动时，判断有几个位置能够使得以点G为顶点三角形和以点B、F、G为顶点的三角形全等？直接写出相应的点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用△EHG∽△EAF，得出相似三角形对应边的比，即可得出答案；
（2）首先证明△EAF∽△EHG，再表示出△FBG的面积，利用二次函数最值求出即可；
（3）根据全等三角形的判定即可得出．

解答：解：（1）

EF

EG

=

1

2

仍然成立．
证明：
过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．

（2）过点E作EH⊥BC于点H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．
∵AF=x-（-2）=x+2，
∴HG=2（x+2）=2x+4．
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6．
∵BF=2-x．
∴△FBG的面积：S=

1

2

BF×BG=

1

2

（2-x）（2x+6）．
即S=-(x+

1

2

)2+

25

4

．
∴当x=-

1

2

时，S的最大值为

25

4

．

（3）满足要求的点F共有三个位置，
如图1：当F与A重合时，△EFG≌△BGF，
此时点F的坐标为（-2，0）；
如图2：∵△EGF≌△BFG时，EF=FB，
设AF=x，则EF=BF=4-x，
在Rt△EAF中，EF²=AE²+AF²，
∴（4-x）²=x²+4，
解得：x=

3

2

，
∴OF=OA-AF=2-

3

2

=

1

2

，
∴此时F点的坐标为（-

1

2

，0）；
如图3：设AF=x，
则EG=BF=4+x，EF=

x2+4

，GH=2+EF，
∵EG²=EH²+GH²，
∴x=

8

3

，
∴OF=

14

3

，
∴点F的坐标为（-

14

3

，0）．
EH=4，即F₁（-2，0），F2(-

1

2

，0)，F3(-

14

3

，0)．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和二次函数的最值问题以及全等三角形的判定等知识，题目综合性较强，中考中对于最值问题与相似三角形的考查较多，同学们应学会应用知识解决问题．