题目内容
【题目】（1）计算：0×1×2×3+1＝（_______）2；
1×2×3×4+1＝（______）2；
2×3×4×5+1＝（_______）2；
3×4×5×6+1＝（_______）2；
……
（2）根据以上规律填空：4×5×6×7+1＝（_____）2；
____×___×_____×_____+1＝（55）2．
（3）小明说：“任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方”．你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】（1）1；5；11；19；（2）29；6；7；8；9；（3）正确，证明见解析．
【解析】
直接计算写出结果即可；
观察(1)的结果，得到规律，按照规律填写即可得到答案；
设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，按照题目意思作乘积，展开计算即可验证小明的说法；
解：（1）直接计算得到：0×1×2×3+1＝1=12；
1×2×3×4+1＝25=52；
2×3×4×5+1＝121=112；
3×4×5×6+1＝361=192；
故答案为：1；5；11；19；
（2）根据上述计算的几个式子，可以得到规律：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1=
,
∴4×5×6×7+1=
，
∵
，
∴ 6 × 7 × 8 × 9 +1＝（55）2
故答案为：29，, 6 × 7 × 8 × 9
（3）正确， 理由如下：
证明：设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，
则有n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2．
＝[n（n+1）+2n+1]2
因为n为自然数，所以n（n+1）为偶数，2n+1为奇数，所以n（n+1）+2n+1必为奇数，故（n2+3n+1）2是一个奇数的平方．
