如图.在△ABC中.已知AB=AC=5.BC=6.△ABC按一定速度沿BC向右平移.平移后的三角形记为△DEF.平移距离不超过6.每到一个位置.都将△DEF绕E旋转.使DE始终经过点A.EF与AC交于点M．(1)求证:△ABE∽△ECM,(2)若△AEM为等腰三角形.求△ABC平移的距离,(3)在平移和旋转的过程中.当线段AM最短时.求△AEM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，△ABC按一定速度沿BC向右平移，平移后的三角形记为△DEF，平移距离不超过6（如图1），每到一个位置，都将△DEF绕E旋转，使DE始终经过点A，EF与AC交于点M（如图2）．

（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）若△AEM为等腰三角形，求△ABC平移的距离；
（3）在平移和旋转的过程中，当线段AM最短时，求△AEM的面积．

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，根据平移和旋转的性质可得∠B=∠DEF，从而得到∠BAE=∠CEM，再根据两组角对应相等两三角形相似证明即可；
（2）分①AE=ME时，利用“角角边”证明△ABE和△ECM全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB，然后求出BE，②AM=ME时，根据等边对等角可得∠AEM=∠EAM，然后求出△ABC和△MAE相似，根据相似三角形对应边成比例求出

，再根据△ABE和△ECM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CE的长度，然后根据BC=6求出BE的长，③AE=AM时，求出点M、C重合，没有开始平移；
（3）根据垂线段最短，AE⊥BC时，AM⊥EF，此时AM最短，根据等腰三角形三线合一的性质求出EC=

BC，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据△AME和△AEC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出AM、EM，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形的外角性质，∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∵△ABC平移后的三角形记为△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：△AEM为等腰三角形，分三种情况讨论：
①如图1，AE=ME时，
在△ABE和△ECM中，

∠B=∠DEF

∠B=∠C

AE=AM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴EC=AB=5，
∴平移距离BE=BC-EC=6-5=1；