Question

已知二次函数y=-x²+2mx-（m²+4m-8），m为正整数，它的图象与x轴交于点A、B两点（A点在B点左侧）．
（1）求二次函数的解析式，并画出草图；
（2）求以A，B为圆心，分别以OA、OB为半径的⊙A、⊙B异于y轴的一条外公切线的解析式；
（3）求（2）中⊙A、⊙B的外部与一条公切线围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数图象与x轴有两个交点，可得判别式△≥0，列式求出m的取值范围，再根据m是正整数即可求出m的值，然后代入整理即可得到函数解析式，求出二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，以及对称轴，作出图象即可；
（2）根据两圆半径的关系可以求出过公切线切点的半径与x轴的夹角是60°，然后求出两切点的坐标，再根据待定系数法即可求出公切线的解析式；
（3）如图2，先求出公切线段的长度，然后求出直角梯形ABFE的面积，再根据所求面积等于梯形ABFE的面积减去两个扇形的面积计算即可求解．

解答：解：（1）△=（2m）²-4×（-1）×[-（m²+4m-8）]，
=-16m+32，
∵图象与x轴交于点A、B两点（A点在B点左侧），
∴△＞0，
即-16m+32＞0，
解得m＜2，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴y=-x²+2mx-（m²+4m-8）=-x²+2×1-（1²+4×1-8）=-x²+2x+3，
即二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3；图象如图1所示；

（2）如图2所示，当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
点A、B的坐标是A（-1，0），B（3，0），
∴AB=1+3=4，BC=3-1=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵1×cos60°=

1

2

，1×sin60°=

3

2

，-1-

1

2

=-

3

2

，
3×cos60°=3×

1

2

=

3

2

，3×sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

，3-

3

2

=

3

2

，
∴点E、F的坐标分别是E（-

3

2

，

3

2

），F（

3

2

，

3 3

2

），
设公切线EF的解析式是：y=kx+b，
则

- 3 2 k+b= 3 2 3 2 k+b= 3 3 2

，
解得

k= 3 3 b= 3

，
∴公切线的解析式是y=

3

3

x+

3

，
同理在x轴下方的公切线的解析式是y=-

3

3

x-

3

；

（3）如图2，EF=AC=

AB2-BC2

=

42-22

=2

3

，
∴梯形ABFE的面积=

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

，
∵∠BAC=30°，
∴∠EAO=30°+90°=120°，
∴S_扇形EAO=

120π×12

360

=

π

3

，S_扇形FBO=

60π×32

360

=

3π

2

，
围成的图形的面积=S_梯形ABFE-S_扇形EAO-S_扇形FBO=4

3

-

π

3

-

3π

2

=4

3

-

11

6

π．
故答案为：（1）y=-x²+2x+3，（2）y=-

3

3

x-

3

，（3）4

3

-

11

6

π．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，根的判别式，二次函数图象与x轴的交点问题，两圆相交的公切线解析式的求解，待定系数法求直线解析式，勾股定理，扇形的面积以及梯形的面积的求解，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析也不难解决．