题目内容
【题目】已知:如图,直线与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,线段OA的长是方程
的一个根,请解答下列问题:
求点B坐标;
双曲线
与直线AB交于点C,且
,求k的值;
在
的条件下,点E在线段AB上,
,直线
轴,垂足为点
,点M在直线l上,坐标平面内是否存在点N,使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)点N的坐标为
或
或
或
.
【解析】
解方程
得:
,或
,得出
,
,代入
求出
,即可得出
;
在
中,由勾股定理求出
,过点C作
轴于H,则
,由平行线得出
∽
,得出
,求出
,
,得出
,
,代入双曲线切线
即可;
分两种情况:
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时,由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为
或
;
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时,由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为
或
.
解:解方程
得:
,或
,
线段OA的长是方程
的一个根,
,
,
代入得:
,
,
;
在
中,
,
,
,
过点C作轴于H,如图1所示:
则,
∽
,
,
即,
解得:,
,
,
,
双曲线
经过点C,
;
存在,理由如下:
分两种情况:
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时,过E作
轴于G,作
交直线l于M,如图2所示:
则,
∽
,
,
,
,
,
,
,
设直线EM的解析式为
,
把点代入得:
,
解得:,
直线EM的解析式为
,
当时,
,
,
,
,
点N的坐标为
;
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时,同理得出满足条件的另一点N的坐标为;
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时,作
于G,
于H,如图3所示:
则,
,
,
四边形EMCN是矩形,
,
由角的互余关系得:,
∽
,
,
,
又,
,
,
的坐标为
,
,
,
;
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时,同理得出满足条件的另一点N的坐标为;
综上所述:存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形,点N的坐标为或
或
或
.
