题目内容
如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=
∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=
，求BC和BF的长．
| 1 |
| 2 |
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=
| ||
| 5 |
（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=
∠CAB．
∵∠CBF=
∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=
，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=
，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=
=2
，
∴sin∠2=
=
，cos∠2=
=
，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
=
∴BF=
=
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=
| 1 |
| 2 |
∵∠CBF=
| 1 |
| 2 |
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=
| ||
| 5 |
∴sin∠1=
| ||
| 5 |
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=
| 5 |
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
| 5 |
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=
| AB2-BE2 |
| 5 |
∴sin∠2=
| AE |
| AB |
2
| ||
| 5 |
| BE |
| AB |
| ||
| 5 |
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
| GC |
| BF |
| AG |
| AB |
∴BF=
| GC•AB |
| AG |
| 20 |
| 3 |
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的延长线于C点．
