题目内容

【题目】毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究:

名称及图形
几何点数
层数

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

第一层几何点数

1

1

1

1

第二层几何点数

2

3

4

5

第三层几何点数

3

5

7

9

第六层几何点数

第n层几何点数

请写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n层各个图形的几何点数.

【答案】6;11;16;21;;2n﹣1;3n﹣2;4n﹣3
【解析】解:∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3,
∴第六层的几何点数是6,第n层的几何点数是n;
∵前三层正方形的几何点数分别是:1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1,
∴第六层的几何点数是:2×6﹣1=11,第n层的几何点数是2n﹣1;
∵前三层五边形的几何点数分别是:1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2,
∴第六层的几何点数是:3×6﹣2=16,第n层的几何点数是3n﹣2;
前三层六边形的几何点数分别是:1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3,
∴第六层的几何点数是:4×6﹣3=21,第n层的几何点数是4n﹣3.

名称及图形
几何点数
层数

三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

第一层几何点数

1

1

1

1

第二层几何点数

2

3

4

5

第三层几何点数

3

5

7

9

第六层几何点数

6

11

16

21

第n层几何点数

n

2n﹣1

3n﹣2

4n﹣3


故答案为:6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3.
首先看三角形数,根据前三层的几何点数分别是1、2、3,可知第六层的几何点数是6,第n层的几何点数是n;然后看正方形数,根据前三层的几何点数分别是1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,可知第六层的几何点数是2×6-1=11,可知第n层的几何点数是2n-1;再看五边形数,根据前三层的几何点数分别是1=3×1-2,4=3×2-1,7=3×3-2,可知第六层的几何点数是3×6-2=16,可知第n层的几何点数是3n-2;最后看六边形数,根据前三层的几何点数分别是1=4×1-3,5=4×2-3,9=4×3-3,可知第六层的几何点数是4×6-3=21,可知第n层的几何点数是4n-3;据此解答即可.

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