Question

如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．
（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．
（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADE=∠CDE，然后利用边角边定理证明△ADE与△CDE全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=MG，然后据等边对等角的性质得到∠G=∠MCG，所以∠2=∠MCG，然后根据∠FCG=90°即可证明∠MCE=90°，从而得证；
（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等∠G=∠GEC，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．

解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE与△CDE，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2，
②∵AD∥BG（正方形的对边平行），
∴∠1=∠G，
∵M是FG的中点，
∴MC=MG=MF，
∴∠G=∠MCG，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MCG，
∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，
∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，
∴EC⊥MC；

（2）解：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．
理由如下：∵△ECG为等腰三角形，
∴∠G=∠CEG，
又∵∠1=∠2=∠G，
∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，
即3∠1+90°=180°，
解得∠1=30°．
故答案为：∠1=30°时，△ECG为等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路．