题目内容

【题目】综合与实践

问题背景

折纸是一种许多人熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理.其中,芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1):

操作1:將正方形ABCD对折,使点A与点D重合,点B与点C重合.再将正方形ABCD展开,得到折痕EF;

操作2:再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至B'E的位置,得到折痕MN,B'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点,即AP:PB=2:1.

解决问题

(1)在图1中,若EF与MN交于点Q,连接CQ.求证:四边形EQCM是菱形;

(2)请在图1中证明AP:PB=2:l.

发现感悟

若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点,重复“问题背景”中操作2的折纸过程,请你思考并解决如下问题:

(3)如图2.若 =2.则=   

(4)如图3,若=3,则=   

(5)根据问题(2),(3),(4)给你的启示,你能发现一个更加一般化的结论吗?请把你的结论写出来,不要求证明.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)4;(4)6;(5)见解析.

【解析】分析:(1)由折叠可得,CM=EM,∠CMQ=EMQ,四边形CDEF是矩形,由CM=EQCMQE,可证四边形EQCM是平行四边形,进而证明四边形EQCM是菱形;

(2)设正方形ABCD的边长为1CM=x,则EM=xDM=1x,在RtDEM中,由勾股定理可求得x的值,由△AEP∽△DME,列比例式求出AP的值,进而求出PB的值,从而结论可求;

(3)设正方形ABCD的边长为1,CM=x,则EM=xDM=1﹣xRt△DEM中,由勾股定理可得x的值,由AEP∽△DME,可得AP的值和BP的值,进而求得结论.

(4)与(3)相同的方法求解即可;

(5)与(3)相同的方法求解即可;

详解:(1)由折叠可得,CM=EM,CMQ=EMQ,四边形CDEF是矩形,

CDEF,

∴∠CMQ=EQM,

∴∠EQM=EMQ,

ME=EQ,

∴CM=EQ

又∵CMQE,

∴四边形EQCM是平行四边形,

又∵CM=EM,

∴四边形EQCM是菱形;

(2)如图1,设正方形ABCD的边长为1,CM=x,则EM=x,DM=1﹣x,

RtDEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2

x2=(2+(1﹣x)2,解得x=

CM=,DM=

∵∠PEM=D=90°,

∴∠AEP+DEM=90°,DEM+EMD=90°,

∴∠AEP=DME,

又∵∠A=D=90°,

∴△AEP∽△DME,

=,即,解得AP=

PB=

AP:PB=2:l.

(3)如图2,设正方形ABCD的边长为1,CM=x,则EM=x,DM=1﹣x,

RtDEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2

x2=(2+(1﹣x)2,解得x=

CM=

DM=

AEP∽△DME,可得

=,即,解得AP=

PB=

=4,

故答案为:4;

(4)如图3,同理可得AP=,PB=

=6,

故答案为:6;

(5)根据问题(2),(3),(4),可得当(n为正整数),则

理由:设正方形ABCD的边长为1,CM=x,则EM=x,DM=1﹣x,

RtDEM中,由勾股定理可得:EM2=ED2+DM2

x2=(2+(1﹣x)2,解得x=

DM=1﹣CM=

AEP∽△DME,可得

=,即,解得AP=

PB=

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