题目内容

如图,Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上OB=
3
,∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BE.
(1)求点E和点D的坐标;
(2)求经过O、D、A三点的二次函数解析式;
(3)设直线BE与(2)中二次函数图象的对称轴交于点F,M为OF中点,N为AF中点,在x轴上是否存在点P,使△PMN的周长最小,若存在,请求出点P的坐标和最小值;若不存在,请说明理由.
(1)据题意可得∠1=
1
2
∠ABO
,OB=BD=
3
,DE=OE,
∵Rt△AOB中,∠BAO=30°,
∴∠ABO=60°,OA=3,AB=2
3

∴∠1=30°,A(3,0),B(0,
3
).
Rt△EOB中,∵tan∠1=
OE
OB

OE
3
=
3
3

∴OE=1,∴E点坐标为(1,0);
过点D作DG⊥OA于G,易知D是AB的中点,且A(3,0),B(0,
3
),
则OG=
1
2
OA=1.5,DG=
1
2
OB=
3
2

故D(1.5,
3
2
).

(2)∵二次函数的图象经过x轴上的O、A两点,设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2);
据(1)得A点坐标为(3,0),
∴x1=0,x2=3,
把D点坐标(1.5,
3
2
)代入y=a(x-0)(x-3)
a=-
2
3
9

∴二次函数的解析式为y=-
2
3
9
x2+
2
3
3
x


(3)设直线BE的解析式为y=k1x+b1,把(0,
3
)和(1,0)分别代入y=k1x+b1
得:
k1=-
3
b1=
3

直线BE的解析式为y=-
3
x+
3

∵把x=1.5代入y=-
3
x+
3
得:y=-
3
2

F点坐标为(1.5,-
3
2
),M点坐标为(
3
4
,-
3
4
),N点坐标为(
9
4
,-
3
4
),
M点关于x轴对称的点的坐标为M'(
3
4
3
4
),
设直线M'N的解析式为y=k2x+b2,把(
3
4
3
4
)和(
9
4
,-
3
4
)分别代入y=k2x+b2
得:k2=-
3
3
b2=
3
2

∴直线M'N的解析式为y=-
3
3
x+
3
2

把y=0代入y=-
3
3
x+
3
2

x=
3
2

∴x轴上存在点P,使△PMN的周长最小,P点坐标为(
3
2
,0),PM=
(
3
2
-
3
4
)
2
+(0-
3
4
)
2
=
3
2
PN=
(
3
2
-
9
4
)
2
+(0-
3
4
)
2
=
3
2

∴△PMN周长=
3
2
+
3
2
+
3
2
=
3
2
+
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