题目内容
（1997•浙江）如图，⊙O1与⊙O2相交，大圆⊙O1的弦AB⊥O1O2，垂足是F，且交⊙O2于点C，D，过B作⊙O2的切线，E为切点，已知BE=DE，BD=m，BE=n，AC，CE的长是关于x的方程x2+px+q=0的两个根．（1）求证：AC=BD；
（2）用含m，n的代数式分别表示p和q；
（3）如果关于x的方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，且∠DEB=30°，求⊙O2的半径．
分析：（1）由垂径定理可知FA=FB，FC=FD，所以AC=BD；
（2）由已知条件证明△CBE∽△EBD可得：BC=
=
，证明△CBE∽△EBD可得
=
，因为BE=DE，所以CE=CB=
，又AC=BD=m，所以p=-（AC+CE）=-（m+
）=-
，q=AC•CE=m•
=n2；
（3）因为方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，所以△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0，连接O2D，O2E，证明△O2ED是等边三角形，即可得到O2E=DE=BE=2．
（2）由已知条件证明△CBE∽△EBD可得：BC=
| BE2 |
| BD |
| n2 |
| m |
| CB |
| BE |
| CE |
| DE |
| n2 |
| m |
| n2 |
| m |
| m2+n2 |
| m |
| n2 |
| m |
（3）因为方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，所以△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0，连接O2D，O2E，证明△O2ED是等边三角形，即可得到O2E=DE=BE=2．
解答：解：（1）∵O1F⊥AB，
∴FA=FB．
∵O2F⊥CD，
∴FC=FD，
∴AC=BD；
（2）∵BE和⊙O2切于点E，
∴BE2=BD•BC，
∴BC=
=
，
又∵∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
∴△CBE∽△EBD，
∴
=
，
∵BE=DE，
∴CE=CB=
，
又∵AC=BD=m，
∴p=-（AC+CE）=-（m+
）=-
，q=AC•CE=m•
=n2；
（3）∵方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，
而p=-
•q=n2，
∴△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0．
由n＞0，
解得n=2．
连接O2D，O2E．
又∵∠DEB=30°，∠BEO2=90°，
∴∠O2ED=60°，
∴△O2ED是等边三角形，
∴O2E=DE=BE=2，
即⊙O2的半径是2．
∴FA=FB．
∵O2F⊥CD，
∴FC=FD，
∴AC=BD；
（2）∵BE和⊙O2切于点E，
∴BE2=BD•BC，
∴BC=
| BE2 |
| BD |
| n2 |
| m |
又∵∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
∴△CBE∽△EBD，
∴
| CB |
| BE |
| CE |
| DE |
∵BE=DE，
∴CE=CB=
| n2 |
| m |
又∵AC=BD=m，
∴p=-（AC+CE）=-（m+
| n2 |
| m |
| m2+n2 |
| m |
| n2 |
| m |
（3）∵方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，
而p=-
| m2+n2 |
| m |
∴△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0．
由n＞0，
解得n=2．
连接O2D，O2E．
又∵∠DEB=30°，∠BEO2=90°，
∴∠O2ED=60°，
∴△O2ED是等边三角形，
∴O2E=DE=BE=2，
即⊙O2的半径是2．
点评：本题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、根的判别式的应用以及等边三角形的判定和性质，此题将两圆相交的条件以及和两圆相关的线段和角巧妙地结合起来，使之成为一个有机的整体，要充分利用它们之间的关系．
练习册系列答案
导学全程练创优训练系列答案
相关题目
（1997•浙江）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．
（1997•浙江）如图，?ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过O作OE∥BC交DC于点E，若OE=5cm，则AD的长为
（1997•浙江）如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，若∠A=42°，∠C=51°，则∠AOB=（ ）
（1997•浙江）如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，记△ADE的面积为S1，△ABC的面积为S2，则