题目内容
（1997•浙江）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．
分析：（1）根据EG⊥AD，CD⊥AD，得出△AGE∽△ADC，
=
，求出AC，AE=
EG，同理可得；CF=
FH，再根据AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，得出
EF+EF=5，EF=
，
（2）根据△AGE∽△ADC，
=
，得出AG=
EG=
x，同理可得：CH=
FH=
（
-x），再根据S=
•
x•x+
•
（
-x）2然后进行整理即可求出最大值．
| AE |
| AC |
| EG |
| CD |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
（2）根据△AGE∽△ADC，
| AG |
| AD |
| EG |
| CD |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
解答：解：（1）∵EG⊥AD，CD⊥AD，
∴EG∥CD，
∴△AGE∽△ADC．
∴
=
，
∵AD=4，CD=3，
∴AC=
=5，
∴AE=
EG，
同理可得；CF=
FH，
∵AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，
∴
EF+EF=5
EF=
，
（2）∵△AGE∽△ADC，
∴
=
，
∴AG=
EG=
x，
同理可得：CH=
FH=
（
-x）
∴S=
•
x•x+
•
（
-x）2=
x2-
x+
（0＜x＜
），
S最小值=
=
．
∴EG∥CD，
∴△AGE∽△ADC．
∴
| AE |
| AC |
| EG |
| CD |
∵AD=4，CD=3，
∴AC=
| 32+42 |
∴AE=
| 5 |
| 3 |
同理可得；CF=
| 5 |
| 3 |
∵AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，
∴
| 5 |
| 3 |
EF=
| 15 |
| 8 |
（2）∵△AGE∽△ADC，
∴
| AG |
| AD |
| EG |
| CD |
∴AG=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
同理可得：CH=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 75 |
| 32 |
| 15 |
| 8 |
S最小值=
4×
| ||||||
4×
|
| 75 |
| 64 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定与性质列出比例式，求出线段的长度．
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