Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=

3

2

x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：y=

3

3

x+

3

3

交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析：（1）将点A、B两点的坐标代入y=

3

2

x²+bx+c，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先用配方法求出抛物线的顶点C的坐标为（1，-2

3

），根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出点D的坐标为（1，2

3

），运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=

3

x+

3

，由BK∥AD，可设直线BK的解析式为y=

3

x+m，将B（3，0）代入，得到直线BK的解析式为y=

3

x-3

3

，联立直线l与直线BK的解析式，求得它们的交点K的坐标为（5，2

3

），易求AB=BK=KD=DA=4，则四边形ABKD是菱形，由菱形的中心到四边的距离相等，得出点P与点E重合时，即是满足题意的点，根据中点坐标公式求出E点坐标为（2，

3

）；
（3）先由点D、B关于直线AK对称，根据轴对称的性质得出DN+MN的最小值是MB．过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，则KP⊥AD，再由角平分线及轴对称的性质得出KF=KQ=PQ=2

3

，则MB+MK的最小值是BP，即BP的长是DN+NM+MK的最小值，然后在Rt△BKP中，由勾股定理得出BP=8，即DN+NM+MK的最小值为8．

解答：解：（1）∵二次函数y=

3

2

x²+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴

3 2 -b+c=0 9 3 2 +3b+c=0.

，解得 

b=- 3 c=- 3 3 2 .

，
∴二次函数解析式为y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

；

（2）∵y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

=

3

2

（x²-2x）-

3 3

2

=

3

2

（x-1）²-2

3

，
∴顶点C的坐标为（1，-2

3

），
∵点D为点C关于x轴的对称点，
∴点D的坐标为（1，2

3

）．
易求直线AD的解析式为y=

3

x+

3

，
∵BK∥AD，∴可设直线BK的解析式为y=

3

x+m，
将B（3，0）代入，得3

3

+m=0，解得m=-3

3

，
∴直线BK的解析式为y=

3

x-3

3

．
由

y= 3 3 x+ 3 3 y= 3 x-3 3

，解得

x=5 y=2 3

，
∴交点K的坐标为（5，2

3

）．
∵A（-1，0）、B（3，0），K（5，2

3

），D（1，2

3

），
∴AB=BK=KD=DA=4，
∴四边形ABKD是菱形．
∵菱形的中心到四边的距离相等，
∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，

3

）；

（3）∵点D、B关于直线AK对称，
∴DN+MN的最小值是MB．
过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，
∴KP⊥AD．
∵AK是∠DAB的角平分线，
∴KF=KQ=PQ=2

3

，
∴MB+MK的最小值是BP．即BP的长是DN+NM+MK的最小值．
∵BK∥AD，
∴∠BKP=90°．
在Rt△BKP中，由勾股定理得BP=8．
∴DN+NM+MK的最小值为8．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称、角平分线的性质，两函数交点坐标的求法，勾股定理，菱形的判定与性质，综合性较强，难度较大．运用数形结合及方程思想是解题的关键．