题目内容

如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD-AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是(  )
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线,
∴∠ABP=
1
2
∠ABC,
∠CAP=
1
2
(90°+∠ABC)=45°+
1
2
∠ABC,
在△ABP中,∠APB=180°-∠BAP-∠ABP,
=180°-(45°+
1
2
∠ABC+90°-∠ABC)-
1
2
∠ABC,
=180°-45°-
1
2
∠ABC-90°+∠ABC-
1
2
∠ABC,
=45°,故本小题正确;
②③∵∠ACB=90°,PF⊥AD,
∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°,
∴∠AHP=∠FDP,
∵PF⊥AD,
∴∠APH=∠FPD=90°,
在△AHP与△FDP中,
∠AHP=∠FDP
∠APH=∠FPD=90°
AP=PF

∴△AHP≌△FDP(AAS),
∴DF=AH,
∵AD为∠BAC的外角平分线,∠PFD=∠HAP,
∴∠PAE+∠BAP=180°,
又∵∠PFD+∠BFP=180°,
∴∠PAE=∠PFD,
∵∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠FBP,
在△ABP与△FBP中,
∠PAE=∠PFD
∠ABP=∠FBP
PB=PB

∴△ABP≌△FBP(AAS),
∴AB=BF,AP=PF故②小题正确;
∵BD=DF+BF,
∴BD=AH+AB,
∴BD-AH=AB,故③小题正确;
④∵PF⊥AD,∠ACB=90°,
∴AG⊥DH,
∵AP=PF,PF⊥AD,
∴∠PAF=45°,
∴∠ADG=∠DAG=45°,
∴DG=AG,
∵∠PAF=45°,AG⊥DH,
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形,
∴DG=AG,GH=GF,
∴DG=GH+AF,
∵AF>AP,
∴DG=AP+GH不成立,故本小题错误,
综上所述①②③正确.
故选A.
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