题目内容
【题目】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E．F．G分别从A．B．C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E．F．G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝1.25；（2）当t＝1.4s或t＝（﹣7+
）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似；（3）不存在实数t，使得点B′与点O重合．理由见解析.
【解析】
（1）利用正方形的性质，得到BE＝BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在
（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，
即：5﹣t＝3t，
解得t＝1.25；
故答案为：1.25；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有
，即
，
解得：t＝1.4；
②若△EBF∽△GCF，
则有
，即
，
解得：t＝﹣7﹣（不合题意，舍去）或t＝﹣7+．
∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝
BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，
由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2，
即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2
解得：t＝
；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，
由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2，
即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2
解得：t＝
．
∵≠，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
