Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

(1)连接OD，证明OD//AF，继而得OD⊥EF，由此即可得结论；

(2)在Rt△AFE中，根据勾股定理求出AE长，设⊙O半径为r，由EO＝10﹣r，继而证明△EOD∽△EAF，利用相似三角形对应边成比例即可求得答案.

(1)连接OD．

∵EF⊥AF，

∴∠F＝90°．

∵D是的中点，

∴，

∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，

∵∠A＝∠BOC，

∴∠A＝∠EOD，

∴OD∥AF，

∴∠EDO＝∠F＝90°，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

(2)在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，

∴AE=＝10，

设⊙O半径为r，

∴EO＝10﹣r．

∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，

∴△EOD∽△EAF，

∴，

∴,

∴r＝，即⊙O的半径为．