题目内容

【题目】如图,平面直角坐标系中,O为菱形ABCD的对称中心,已知C20),D0﹣1),N为线段CD上一点(不与CD重合).

1)求以C为顶点,且经过点D的抛物线解析式;

2)设N关于BD的对称点为N1N关于BC的对称点为N2,求证:△N1BN2∽△ABC

3)求(2)中N1N2的最小值;

4)过点Ny轴的平行线交(1)中的抛物线于点P,点Q为直线AB上的一个动点,且∠PQA=∠BAC,求当PQ最小时点Q坐标.

【答案】1y=﹣x﹣222)证明见解析(34

【解析】试题分析:(1)用待定系数法求,即可;

2)由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可;

3)先判定出,当BN⊥CD时,BN最短,再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式,求解,即可;

4)先建立PE=m2m+2函数解析式,根据抛物线的特点确定出最小值.

试题解析:(1)由已知,设抛物线解析式为y=ax﹣22

D0﹣1)代入,得a=﹣

y=﹣x﹣22

2)如图1,连结BN

∵N1N2N的对称点

∴BN1=BN2=BN∠N1BD=∠NBD∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

四边形ABCD是菱形

∴AB=BC∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=N1BN2

∴△ABC∽△N1BN2

3NCD上的动点,

点到直线的距离,垂线段最短,

BN⊥CD时,BN最短.

∵C20),D0﹣1

CD=

BNmin=

BN1min=BNmin=

∵△ABC∽△N1BN2

N1N2min=

4)如图2

过点PPE⊥x轴,交AB于点E

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

菱形ABCD中,C20),D0﹣1

∴A﹣20),B01

lABY=x+1

不妨设Pmm﹣22),则Emm+1

PE=m2m+2

m=1时,

此时,PQ1最小,最小值为=

PQ1=PQ2=

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