题目内容
【题目】如图,平面直角坐标系中,O为菱形ABCD的对称中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N为线段CD上一点(不与C、D重合).
(1)求以C为顶点,且经过点D的抛物线解析式;
(2)设N关于BD的对称点为N1,N关于BC的对称点为N2,求证:△N1BN2∽△ABC;
(3)求(2)中N1N2的最小值;
(4)过点N作y轴的平行线交(1)中的抛物线于点P,点Q为直线AB上的一个动点,且∠PQA=∠BAC,求当PQ最小时点Q坐标.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2(2)证明见解析(3)(4)
【解析】试题分析:(1)用待定系数法求,即可;
(2)由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可;
(3)先判定出,当BN⊥CD时,BN最短,再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式,求解,即可;
(4)先建立PE=m2﹣m+2函数解析式,根据抛物线的特点确定出最小值.
试题解析:(1)由已知,设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2
把D(0,﹣1)代入,得a=﹣
∴y=﹣(x﹣2)2
(2)如图1,连结BN.
∵N1,N2是N的对称点
∴BN1=BN2=BN,∠N1BD=∠NBD,∠NBC=∠N2BC
∴∠N1BN2=2∠DBC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC,∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N1BN2,
∴△ABC∽△N1BN2
(3)∵点N是CD上的动点,
∴点到直线的距离,垂线段最短,
∴当BN⊥CD时,BN最短.
∵C(2,0),D(0,﹣1)
∴CD=,
∴BNmin=,
∴BN1min=BNmin=,
∵△ABC∽△N1BN2
∴,
N1N2min=,
(4)如图2,
过点P作PE⊥x轴,交AB于点E.
∵∠PQA=∠BAC
∴PQ1∥AC
∵菱形ABCD中,C(2,0),D(0,﹣1)
∴A(﹣2,0),B(0,1)
∴lAB:Y=x+1
不妨设P(m,﹣(m﹣2)2),则E(m, m+1)
∴PE=m2﹣m+2
∴当m=1时,
此时,PQ1最小,最小值为=,
∴PQ1=PQ2=.