题目内容
【题目】点E、F分别是□ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=60°,AF=4
(1) 若AB=2,点E与点B、点F与点D分别重合,求平行四边形ABCD的面积
(2) 若AB=BC,∠B=∠EAF=60°,求证:△AEF为等边三角形
(3) 若BE=CE,CF=2DF,AB=3,直接写出AE的长度(无需解答过程)
【答案】(1)4 (2)证明见解析(3)
【解析】
(1)先求出∠ABH=30°,进而求出BH,最后用平行四边形的面积公式即可得出结论;
(2)先判断出∠BAE=∠CAF,进而判断出△ABE≌△ACF,即可得出结论;
(3)先利用倍长中线判断出AE=PE,PC=AB=CD=3,CF=2DF,进而利用含30度角的直角三角形的性质求出AG、FG的长,进而用勾股定理求出PG的长即可得出结论.
(1)如图1,
过点B作BH⊥AD于H,
在Rt△ABH中,∠BAD=60°,
∴∠ABH=30°,
∵AB=2,
∴AH=1,BH=,
∴S平行四边形ABCD=ADBH=4;
(2)如图2,连接AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵∠B=∠EAF=60°,
∴∠BAD=120°,
在ABCD中,AB=BC,
∴ABCD是菱形,
∵AC是菱形对角线,
∴∠ACD=∠BAC=60°=∠B,
∴AB=AC,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,,
∴△ABE≌△ACF,
∴AE=AF,
∵∠EAF=60°,
∴△AEF为等边三角形;
(3)如图3,延长AE交DC延长线于P,过点F作FG⊥AP与G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠C=∠ECP,
∵BE=CE,∠AEB=∠PEC,
∴△ABE≌△PCE,
∴AE=PE,PC=AB=CD=3,CF=2DF,
∴CF=2,
∴PF=5,
在Rt△AFG中,AF=4,∠EAF=60°,
∴∠AFG=30°
∴AG=2,FG=2,
在Rt△PFG中,PF=5,FG=2,∴PG=
,
∴AP=AG+PG=2+,
∴AE=PE=AP=
.
