题目内容

【题目】E、F分别是□ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=60°,AF=4

(1) AB=2,点E与点B、点F与点D分别重合,求平行四边形ABCD的面积

(2) AB=BC,∠B=∠EAF=60°,求证:△AEF为等边三角形

(3) BE=CE,CF=2DF,AB=3,直接写出AE的长度(无需解答过程)

【答案】(1)4 (2)证明见解析(3)

【解析】

(1)先求出∠ABH=30°,进而求出BH,最后用平行四边形的面积公式即可得出结论;

(2)先判断出∠BAE=CAF,进而判断出ABE≌△ACF,即可得出结论;

(3)先利用倍长中线判断出AE=PE,PC=AB=CD=3,CF=2DF,进而利用含30度角的直角三角形的性质求出AG、FG的长,进而用勾股定理求出PG的长即可得出结论.

1)如图1,

过点BBHADH,

RtABH中,∠BAD=60°,

∴∠ABH=30°,

AB=2,

AH=1,BH=

S平行四边形ABCD=ADBH=4

(2)如图2,连接AC,

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC,

∵∠B=EAF=60°,

∴∠BAD=120°,

ABCD中,AB=BC,

ABCD是菱形,

AC是菱形对角线,

∴∠ACD=BAC=60°=B,

AB=AC,

∴∠BAE=CAF,

ABEACF中,

∴△ABE≌△ACF,

AE=AF,

∵∠EAF=60°,

∴△AEF为等边三角形;

(3)如图3,延长AEDC延长线于P,过点FFGAPG,

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCD,

∴∠C=ECP,

BE=CE,AEB=PEC,

∴△ABE≌△PCE,

AE=PE,PC=AB=CD=3,CF=2DF,

CF=2,

PF=5,

RtAFG中,AF=4,EAF=60°,

∴∠AFG=30°

AG=2,FG=2

RtPFG中,PF=5,FG=2PG=

AP=AG+PG=2+

AE=PE=AP=.

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