题目内容

探究与应用:在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形,将几何“模块”化.例如在相似三角形中,K字形是非常重要的基本图形,可以建立如下的“模块”(如图①):
(1)请就图①证明上述“模块”的合理性.已知:∠A=∠D=∠BCE=90°,求证:△ABC△DCE;
(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题:
①如图②,已知点A(-2,1),点B在直线y=-2x+3上运动,若∠AOB=90°,求此时点B的坐标;
②如图③,过点A(-2,1)作x轴与y轴的平行线,交直线y=-2x+3于点C、D,求点A关于直线CD的对称点E的坐标.
(1)证明:∵∠BCE=90°,
∴∠ACB+∠DCE=90°.
∵∠A=90°,
∴∠ACB+∠B=90°,
∴∠DCE=∠B.
∵∠A=∠D,
∴△ABC△DCE;

(2)①作AG⊥x轴于点G,BH⊥x轴于点H
∴△AGO△OHB,
AG
OH
=
GO
BH

∵A(-2,1),
∴AG=1,GO=2.
∵点B在直线y=-2x+3上,
∴设点B的坐标为(x,-2x+3),
∴OH=x,BH=-2x+3,
1
x
=
2
-2x+3

∴x=
3
4

∴-2x+3=
3
2

∴B(
3
4
3
2
);
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N,过点D作DM⊥NE的延长线于点M,
∵A(-2,1),
∴C点的纵坐标为1,D点的横坐标为-2,
∴1=-2x+3,y=-2×(-2)+3,
∴x=1,y=7,
∴C(1,1),D(-2,7).
设E(x,y),
∴DM=x+2,ME=7-y,CN=x-1,EN=y-1,
由对称可知:DE=AD=6,CE=AC=3
∵∠M=∠N=∠DEC=90°,
∴△DME△ENC,
DM
EN
=
ME
CN
=
DE
CE

x+2
y-1
=2
7-y
x-1
=2

∴解得:
x=
14
5
y=
17
5

∴E(
14
5
17
5
).
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