Question

如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？

Answer 1

解：设EC=x，CH=y，则BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴，
∵AB=BC=2，点D为AB的中点，
∴BD=1，
∴，
即：y=-x²+2x=-（x-1）²+1．
∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点．
分析：首先设EC=x，CH=y，则BE=2-x，由△ABC、△DEF都是等边三角形，易得△BED∽△CHE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由点D为AB的中点，AB=BC=2，代入比例式，即可求得y=-x²+2x=-（x-1）²+1，然后根据二次函数的性质，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及二次函数的性质．此题难度适中，解题的关键是证得△BED∽△CHE，注意数形结合思想与方程思想的应用．